立方数呢—华林问题

由平方数人们自然考虑到立方数、四次方数……但是方幂越高，这样的方幂数就越稀少，因此是否能够用有限个来表示每一个正整数就很成问题。1770年华林发表了《代数沉思录》。其中说，每一个整数至多是9个立方数之和，至多是19个四次方数之和。他还猜测，每一个正整数都可以表示成至多r个k次幂之和，其中r依赖于k，这就称为华林问题。这个问题发表以后，许多人进行了大量验算，他们发现把一个正整数表为立方数的和时，至少需要9个立方数，头一个需要9个立方数是29，第二个是239，但是对于较大的正整数往往只需要7个甚至6个立方数，这就促使人们把所有正整数和充分大的正整数两种情形区分开。
     我们通常用 g（k）表示每一个正整数都至多可以表为g（k）个k次方数之和，而用G（k）表示每一个充分大的正整数都至多可以表为G（k）个k次方数之和，显然，G（k）≤g（k）。由g（k）的定义可知，华林的问题就是g（2）=4，g（3）=9，g（4）=19，g（5）=37，……由上面讲的可以看出，平方数问题已经难倒大数家欧拉，而立方数、四次方数问题，19世纪许多数学家都进行过研究，分别得到比9和19大的结果。第一个证明超越数存在的数学家刘维尔就曾经证明过g（4）≤53。一直到20世纪初期，53才改进到38。1908年，希尔伯特一举证明了对于每个方次k，g（k）都存在并且是有限值，证明过程开始用到25重积分，一下子就把华林问题从原则上解决了。尽管希尔伯特得出g（k）有限的结论，人们还是希望给出g（k）的精确值，至少给出一个上界。20 世纪两位解析数论的大家哈代和李特渥德创造了圆法，得出g（k）＜k2k-1+1的结论。