把平面分为两部分 ——若尔当定理
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几何学最简单的概念是曲线。但是在拓扑学里，曲线并不太好定义。法国著名数学家若尔当在1882年用参数方程加以定义：曲线是平面上的点集，其坐标是参数t的连续函数x＝（t）y＝（t...
多面体的秘密—欧拉公式
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研究图形拓扑性质的方法，可以说是受到欧拉公式的启发，欧拉公式是多面体的顶点数，棱数和面数之间的一个关系，尽管多面体可以千变万化，这个关系却一定满足，也就是这个关系反...
哥尼斯堡的七桥—笔画问题
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第一个拓扑问题是欧拉在1736年解决的哥尼斯堡的七桥问题。哥尼斯堡是东普鲁士的首府，这座历史名城产生过大哲学家康德和大数学家希尔伯特。普雷格尔河横贯哥尼斯堡城中，其中有...
走向新空间-各种几何学
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19世纪中叶以前，欧几里得空间是头一个教学空间，也是唯一的数学空间。欧几里得空间是通过欧几里得几何学的公理来刻划的，它反映人们对空间的平直性（线性），匀齐性，各向同性...
张在铁丝架上的肥皂膜—极小曲面
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1849年起，比利时物理学家普拉托进行一系列实验，用金属丝弯成各种形状的框架，浸入肥皂水中，拉起来后看框架是否张上肥皂膜。这样的肥皂膜由于表面张力之故是所有张在同样框架...
地球上两点间最短航线—测地线
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当你走在旷野中，如果没有特殊的道路，自然会选择连结两点的最短路线，因为在一个平面上两点之间直线最短。可是，如果在一望无际的茫茫大海中航行，或者在10000米的云端飞行，什...
笔直与弯曲—曲率
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弯曲性是最直观的几何性质之一。当我们走到街上时，我们不难判断道路的弯曲程度。北京的许多街道一眼望不到头，它们可以横平竖直，而山城重庆、青岛的许多道路弯弯曲曲，还要上...
群与几何学—埃尔兰根计划
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1872 年克莱因发表埃尔兰根计划，目的是用群的观点来统一各种几何学。他的基本观点是：每种几何学都由变换群所刻划，每种几何学所要研究的就是几何图形在其变换群下的不变量。而...
罗巴切夫斯基几何
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现在公认非欧几何学的奠基人是高斯、罗巴切夫斯基和波耶，他们是彼此独立地得到所谓罗巴切夫斯基几何（克莱因称为双曲几何）的。高斯早在1792 年就开始深入研究这个问题，但他并...
对欧氏几何的挑战—非欧几何
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欧几里得的《几何原本》第一卷中提出23个定义、5个公理、5个公设。麻烦都出在第五公设，也就是平行公设上。《原本》的平行公设是这么叙述的：平面上两直线被一直线所截，如果截...
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