两道数学竞赛题

（1）证明四个连续的整数的积加上1，是一个奇数的平方。
     （2）把两个连续整数代入x5-x+1中，其差必是10的倍数。试证明之。
     答案：（1）设四个连续的整数是n，n+1，n+2，n+3.∵n（n+1）（n+2）（n+3）+1=（n²+3n）（n²+3n+2）+1=（n²+3n）2+2（n²+3n）+1=（n²+3n+1）2其中，n²+3n+1=n（n+1）+（2n+1）因n（n+1）是连续二整数的积，一定是偶数，而2n+1是奇数，所以n²+3n+1是奇数。故连续四个整数的乘积加1是一个奇数的平方。
                 （2）设二连续整数是n，n+1.［（n+1）5-（n+1）+1］-（n⁵-n+1）=（n+1）5-n⁵-1=5n⁴+10n³+10n²+5n=5n（n³+1）+10n²（n+1）=5n（n+1）（n²-n+1）+10n²（n+1）因n（n+1）为连续二整数的积，必为偶数，所以5n（n+1）（n²-n+1）是10的倍数。