数学 - 斜三角形的“一题多解”

一题多解的“解”,若当作解法,即为一道题有多种解法,但数学中把解又当作结果,所以也可理解为一道题有多种结果.通常人们是以第一种解释为多,这里笔者想借此谈点教学解斜三角形时的一些新想法.
解斜三角形,就是利用三角形的已知元素,求出未知元素的过程.其原理是正弦定理.条件必须满足3个,就是在斜三角形三角三边个元素中,必须已知其中的三个,而已知三个角时,三角形不确定,所以三个条件中至少要有一条边.这样我们可以把已知条件分为三种类型:1、已知三边.由定理可知,要用余弦定理开解;2、已知两角一边.因为三角形的三个内角和是180°,所以实际是已知三角一边,由定理可知,不管是已知夹边还是对边,用正弦定理都可以解;3、已知两边一角.这种类型要注意.由定理可知,若是已知夹角要用余弦定理来解.经过这样的分析,我们可以进行总结并归纳为口诀:“三边必定用余弦,还有两边夹一角;正弦两边一对角,双角必定用正弦.”
有了定理,有了口诀,只是初步掌握.请看例一:在△ABC中,已知∠A=45°,a=2,b=2,求∠B.简解为: 。例二：在 中，已知 求 ，简解为： 且 或 。以上两例,同样是正弦定理,却存在着一解或两解的问题,按照“大边对大角,小边对小角”的原则,例一是已知大边对大角,求小边的对角,只能有一解,而例二是已知小边对小角,求大边的对角,则有锐角和钝角两种结果.这种“一题多解”的问题因该特别小心,不能出现漏解或是增解的情况.在斜三角中,已知三边,已知两角一边和已知两边一夹角时,三角形都是唯一确定的;一有已知两边一对角时,才有可能出现一解、两解或是无解的情况.这里“大边对大角”的原则起着决定性的作用.
有了定理,有了口诀,有了原则,还要能灵活运用各种不同的解法,以求达到“一题多解”.请看例三:在△ABC中,已知∠A=30° 求c。简解为：由正弦定理得： 且 或 。当 ，则 ，当 则 所以， 。这是已知两边一对角的情形,按口诀应该用正弦定理如上所解,但是用余弦定理也是可行的.简解为:由公式 ，代入得 ,化简 ， ，所以,或 ＝8或 ＝4,此法不仅简洁且不会漏解,值得重视.