高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题十三 空间线面位置关系的推理

专题十三  空间线面位置关系的推理与证明

1.如图，在直三棱柱ABC -A₁B₁C₁中，A₁B₁＝A₁C₁，D，E分别是棱BC，CC₁上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B₁C₁的中点．

[来源:学&科&网]

求证：(1)平面ADE⊥平面BCC₁B₁；

(2)直线A₁F∥平面ADE.

证明　(1)因为ABCA₁B₁C₁是直三棱柱，

所以

CC₁⊥平面ABC，

又AD?平面ABC，所以CC₁⊥AD.

又因为AD⊥DE，CC₁，DE?平面BCC₁B₁，

CC₁∩DE＝E，

所以AD⊥平面BCC₁B₁.又AD?平面ADE，

所以平面ADE⊥平面BCC₁B₁.

(2)因为A₁B₁＝A₁C₁，F为B₁C₁的中点，

所以A₁F⊥B₁C₁.

因为CC₁⊥平面A₁B₁C₁，且A₁F?平面A₁B₁C₁，

所以CC₁⊥A₁F.

又因为CC₁，B₁C₁?平面BCC₁B₁，CC₁∩B₁C₁＝C₁，

所以A₁F⊥平面BCC₁B₁.

由(1)知AD⊥平面BCC₁B₁，所以A₁F∥AD.

又AD?平面ADE，A₁F?平面ADE，所以A₁F∥平面ADE.

本问题主要以解答题的形式进行考查，重点是空间线面平行关系和垂直关系的证明，而且一般是这个解答题的第一问．

首先要学会认识几何图形，有一定的空间想象能力，对照着已知条件逐一判断．其次要熟悉相关的基本定理和基本性质，要善于把空间问题转化为平面问题进行解答．高考试题一般是利用直线与平面平行或垂直的判断定理和性质定理，以及平面与平面平行或垂直的判定定理和性质定理，把空间中的线线位置关系、线面位置关系和面面位置关系进行相互转化，这就要求同学们对平行与垂直的判定定理和性质定理熟练掌握，并在相应的题目中用相应的数学语言进行准确的表述．

必备知识

?平行关系的转化

两平面平行问题常常可以转化为直线与平面的平行，而直线与平面平行又可转化为直线与直线平行，所以要注意转化思想的应用，以下为三种平行关系的转化示意图．

?解决平行问题时要注意以下结论的应用

(1)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(2)两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面．

(3)一条直线与两平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．

(4)平行于同一条直线的两条直线平行．

(5)平行于同一个平面的两个平面平行．

(6)如果一条直线与两个相交平面都平行，那么这条直线必与它们的交线平行．

 

?垂直关系的转化

与平行关系之间的转化类似，它们之间的转化如下示意图．

在垂直的相关定理中，要特别注意记忆面面垂直的性质定理：两个平面垂直，在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一个平面，当题目中有面面垂直的条件时，一般都要用此定理进行转化．

必备方法

1．证明平行、垂直问题常常从已知联想到有关判定定理或性质定理，将分析法与综合法综合起来考虑．

2．证明面面平行、垂直时，常转化为线面的平行与垂直，再转化为线线的平行与垂直．

3．使用化归策略可将立体几何问题转化为平面几何问题．

4．正向思维受阻时，可考虑使用反证法．

5．计算题应在计算中融入论证，使证算合一，逻辑严谨．通常计算题是经过“作图、证明、说明、计算”等步骤来完成的，应不缺不漏，清晰、严谨．

 

此类问题涉及的知识面较广，综合性较强，常考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质，考查学生分析、解决问题的能力，难度中档．

【例1】? 如图所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綉AD，BE綉AF，G、H分别为FA、FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？

[审题视点] 　

　

[听课记录]

[审题视点] 要证明四边形BCHG是平行四边形，只要证明GH綉BC或GB綉HC即可；要证明C，D，E，F共面，可通过证明四边形CDEF中至少有一组对边平行或两边的延长线相交即可．

(1)证明　由题意知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綉AD.

又BC綉AD，故GH綉BC.所以四边形BCHG是平行四边形．

(2)解　C、D、F、E四点共面．理由如下：

由BE綉AF，G是FA的中点知，BE綉GF，所以EF綉BG.

由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共面．

法二　由题设知FA，AB，AD两两互相垂直，如图，以A为坐标原点，以射线AB为x轴正方向，以射线AD为y轴正方向，以射线AF为z轴正方向，建立直角坐标系Axyz.

(1)证明　设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得

A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，b,0)，

D(0,2b,0)，E(a,0，c)，G(0,0，c)，

H(0，b，c)．

所以＝(0，b,0)，＝(0，b,0)，于是＝.

又点G不在直线BC上，所以四边形BCHG是平行四边形．

(2)解　C，D，F，E四点共面．

理由如下：

由题设知F(0,0,2c)，所以＝(－a,0，c)，＝(－a,0，c)，

＝，又C?EF，H∈FD，故C，D，E，F四点共面．

 解决空间线面位置关系的组合判断题常有以下方法：

(1)借助空间线面位置关系的线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；

(2)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，肯定或否定某些选项，并作出选择．

【突破训练1】 给出下列关于互不相同的直线m，l，n和平面α，β的四个命题：

①若m?α，l∩α＝A，点A?m，则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；

④若l?α，m?α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.

其中为真命题的是________(填序号)．

解析　③中l∥m或l，m异面，所以③错误，其他正确．

答案　①②④

此类问题多以多面体为载体，求证线线、线面的平行与垂直，在解答题中往往作为第一问，难度一般不大，适当添加辅助线是解题的常用方法，考查学生灵活应用线线、线面的平行与垂直的相互转化能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例2】如图所示，正三棱柱A₁B₁C₁ABC中，点D是BC的中点，BC＝BB₁，设B₁D∩BC₁＝F.求证：

(1)A₁C∥平面AB₁D；

(2)BC₁⊥平面AB₁D.

[审题视点] 　

　

[听课记录]

[审题视点] 本题可先挖掘正三棱柱中有关的线面平行及垂直关系，第(1)问可利用“线线平行”或“面面平行”，第(2)问可利用“线线垂直”来证“线面垂直”．

证明　(1)连接A₁B，设A₁B与AB₁交于E，连接DE.

∵点D是BC中点，点E是A₁B中点，

∴DE∥A₁C，∵A₁C?平面AB₁D，

DE?平面AB₁D，

∴A₁C∥平面AB₁D.

(2)∵△ABC是正三角形，点D是BC的中点，∴AD⊥BC.

∵平面ABC⊥平面B₁BCC₁，

平面ABC∩平面B₁BCC₁＝BC，AD?平面ABC，

∴AD⊥平面B₁BCC₁，

∵BC₁?平面B₁BCC₁，∴AD⊥BC₁.

∵点D是BC的中点，BC＝BB₁，∴BD＝BB₁.

∵＝＝，∴Rt△B₁BD∽Rt△BCC₁.

∴∠BDB₁＝∠BC₁C.

∴∠FBD＋∠BDF＝∠C₁BC＋∠BC₁C＝90°.

∴BC₁⊥B₁D.因为B₁D∩AD＝D，

∴BC₁⊥平面AB₁D.

 将立体几何问题转化为平面几何问题，是解决立体几何问题的很好途径，其中过特殊点作辅助线，构造平面是比较常用的方法．当然，记住公式、定理、概念等基础知识是解决问题的前提．

【突破训练2】如

图，在四棱台ABCDA₁B₁C₁D₁中，D₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A₁B₁，∠BAD＝60°.证明：

(1)AA₁⊥BD；

(2)CC₁∥平面A₁BD.

证明　

(1)因为D₁D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以BD⊥D₁D，

取AB的中点G，连接DG，

在△ABD中，由AB＝2AD得，

AG＝AD，

又∠BAD＝60°，所以△ADG为等边三角形．

因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB，

又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，

故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°

所以BD⊥AD.又AD∩D₁D＝D，

所以BD⊥平面ADD₁A₁，又AA₁?平面ADD₁A₁，

故AA₁⊥BD.

(2)连接AC，A₁C₁，设AC∩BD＝E，连接EA₁，

 

因为四边形ABCD为平行四边形，

所以EC＝AC，

由棱台定义及AB＝2AD＝2A₁B₁知，

A₁C₁∥EC且A₁C₁＝EC，

所以四边形A₁ECC₁为平行四边形，

因此CC₁∥EA₁，

又因为EA₁?平面A₁BD，CC₁?平面A₁BD，

所以CC₁∥平面A₁BD.

此类问题多以多面体为载体，结合线线、线面的位置关系，涉及的知识点多，综合性强，通常考查面面位置关系的判定及性质，考查学生的推理论证能力．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

【例3】? 如图所示，

在四棱锥PABCD中，△PAB为正三角形，且面PAB⊥面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，且AD∥BC，∠BCD＝，AD＝1，BC＝2，E为棱PC的中点．

(1)求证：DE∥平面PAB；

(2)求证：平面PAB⊥平面PBC.

[审题视点] 　

　

[听课记录]

[审题视点] (1)证明线面平行只需在平面内找一条和该直线平行的直线即可，也可转化为经过这条直线的平面和已知平面平行；(2)证明面面垂直，只需在一个平面内找到另一个平面的垂线．

(1)证明　如图所示，取线段BC的中点F，连接EF、FD.

在△PBC中，E、F分别为PC、CB的中点，∴EF∥PB.

在直角梯形ABCD中，F为CB的中点，

∴BF＝BC＝1.

又∵AD∥BC，且AD＝1，

∴AD綉BF.

∴四边形ABFD是平行四边形，

∴FD∥AB.

又∵EF∩FD＝F，PB∩BA＝B，

∴平面EFD∥平面PAB.

又∵DE?平面EFD，

∴DE∥平面PAB.

(2)证明　在直角梯形中，CB⊥AB，

又∵平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，

∴CB⊥平面PAB.

∵CB?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.[来源:学科网]

 解决空间两个平面位置关系的思维方法是“以退为进”，即面面问题退证为线面问题，再退证为线线问题，充分利用面面、线面、线线相互之间的转化关系．

【突破训练3】如图，

在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：

(1)直线EF∥平面PCD；

(2)平面BEF⊥平面PAD.

证明　

(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.

又因为EF?平面PCD，

PD?平面PCD，

所以直线EF∥平面PCD.

(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，

所以△ABD为正三角形．

因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.

又因为BF?平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查线线、线面、面面位置关系及有关计算．考查学生的知识迁移能力和空间想象能力，难度较大．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

【例4】如图，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB＝BC＝AP，D是AP的中点，E、F分别为PC、PD的中点，将△PCD沿CD折起得到四棱锥PABCD.

(1)G为线段BC上任一点，求证：平面EFG⊥平面PAD；

(2)当G为BC的中点时，求证：AP∥平面EFG.

[审题视点] 　

　

[听课记录]

[审题视点] (1)转化为证EF⊥平面PAD；

(2)转化为证平面PAB∥平面EFG.

证明　(1)在直角梯形ABCP中，

∵BC∥AP，BC＝AP，D为AP的中点，

∴BC綉AD，又AB⊥AP，AB＝BC，

∴四边形ABCD为正方形．

∴CD⊥AP，CD⊥AD，CD⊥PD.

在四棱锥PABCD中，∵E，F分别为PC、PD的中点，

∴EF∥CD、EF⊥AD，EF⊥PD.

又PD∩AD＝D、PD?面PAD、AD?面PAD.

∴EF⊥面PAD.

又EF?面EFG，∴面EFG⊥面PAD.

(2)法一　∵G、F分别为BC和PC中点，∴GF∥BP，

∵GF?面PAB，BP?面PAB，∴GF∥面PAB.

由(1)知，EF∥DC，∵AB∥DC，∴EF∥AB，

∵EF?面PAB，AB?面PAB，∴EF∥面PAB.

∵EF∩GF＝F，EF?面EFG，GF?面EFG.

∴面EFG∥面PAB.∵PA?面PAB，∴PA∥面EFG.

法二　取AD中点H，连接GH、HE.

由(1)知四边形ABCD为平行四边形，

又G、H分别为BC、AD的中点，∴GH∥CD.

由(1)知，EF∥CD，∴EF∥GH.[来源:学#科#网Z#X#X#K]

∴四点E、F、G、H共面．

∵E、H分别为PD、AD的中点，∴EH∥PA.

∵PA?面EFGH，EH?面EFGH，[来源:学#科#网Z#X#X#K]

∴PA∥面EFGH，即PA∥面EFG.

 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．

【突破训练4】 如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.

(1)求证：AB⊥DE；

(2)求三棱锥EABD的侧面积．

(1)证明　在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，∴BD＝＝2.

∴AB²＋BD²＝AD²，∴AB⊥BD.

又∵平面EBD⊥平面ABD，

平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD，

∴AB⊥平面EBD.又∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE.

(2)解　由(1)知AB⊥BD.

∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.

在Rt△DBE中，∵DB＝2，DE＝DC＝AB＝2，

∴S_△DBE＝DB·DE＝2.

又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，∴AB⊥BE.

∵BE＝BC＝AD＝4，∴S_△ABE＝AB·BE＝4.

∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD，

而AD?平面ABD，∴ED⊥AD，

∴S_△ADE＝AD·DE＝4.

综上，三棱锥EABD的侧面积S＝8＋2.

证明线面关系，严禁跳步作答

证明线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，但分析问题时不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上，通过证明线面垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又要借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的．

【示例】在棱长为2的正方体ABCDA₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．

(1)求证：EF∥平面ABC₁D₁；

(2)求证：EF⊥B₁C.

[满分解答]　

(1)连接BD₁，如图所示，在△DD₁B中，E、F分别为DD₁、DB的中点，

则EF∥D₁B，

∵D₁B?平面ABC₁D₁，

EF?平面ABC₁D₁，

∴EF∥平面ABC₁D₁.(6分)

(2)∵ABCDA₁B₁C₁D₁为正方体，

∴AB⊥平面BCC₁B₁.

∴B₁C⊥AB.

又B₁C⊥BC₁，AB?平面ABC₁D₁，

BC₁?平面ABC₁D₁且AB∩BC₁＝B，

∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，

又∵BD₁?平面ABC₁D₁，∴B₁C⊥BD₁.

又EF∥BD₁，∴EF⊥B₁C.(12分)

老师叮咛：本题失分原因主要有两点：一是推理论证不严谨，在使用线面位置关系的判定定理、性质定理时忽视定理的使用条件，如由EF∥D₁B就直接得出EF∥平面ABC₁D₁；二是线面位置关系的证明思路出错，如本题第(2)问的证明，缺乏转化的思想意识，不知道证明线线垂直可以通过线面垂直达到目的，出现证明上的错误．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．

【试一试】如图，

在四棱锥SABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥底面ABCD，M为SA的中点，N为CD的中点．证明：

(1)平面SBD⊥平面SAC；

(2)直线MN∥平面SBC.

证明　(1)∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC.

∵SA⊥底面ABCD，∴BD⊥SA.

∵SA∩AC＝A，∴BD⊥平面SAC.

又∵BD?平面SBD，∴平面SBD⊥平面SAC.

(2)如图，取SB中点E，连接ME，CE.

∵M为SA中点，

∴ME∥AB且ME＝AB.

又∵ABCD是菱形，N为CD的中点，

∴CN∥AB且CN＝CD＝AB.

∴CN綉ME.

∴四边形CNME是平行四边形，∴MN∥CE.[来源:学#科#网]

又MN?平面SBC，CE?平面SBC，

∴直线MN∥平面SBC.