有边无边的争论—无边缘的流形

直到现在，我们还常常听到这样的说法：时间无限，空间无限。但是从拓扑学的观点看，这种提法是不严格的。从数学上讲，有限和无限至少包含两方面意思：（1）有没有边缘，说时间无限，是指时间没有起始点，也没有终点，而对于空间来讲，有没有一个边界。（2）度量上是有界还是无穷大，通常我们指空间的距离一直延续到无穷远，而且往往还推出宇宙中物质总质量无穷大。另外在研究时空问题时，还多少有一个默认的假定，空间正如曲线、曲面一样嵌入或安装在一个大的空间之中。我们姑且不谈这些观点与当代宇宙论及天体物理学的事实的背离，而只考虑数学的概念，上面的两个观点实际上并不是统一的，实际上存在着有界而没有边缘的曲线及曲面，例如圆及球面就是。在有边无边的问题上，人们在历史上已经犯过一次错误，这就是关于地球形状的争论。各民族最初都有所谓“天圆地方”的说法，只不过他们坚持这个说法多久有所差异。既然要坚持地方的说法，就要说明在可达到的范围之外是什么东西。有的讲是一望无际的茫茫大海，永无尽头，这就是无边论；有的讲有四四方方的边界，这就是有边论。
     现在知道，无论是无边论及有边论都是错误的，因为地球表面是有界但无边缘的球面。现在的一些人再一次挑起这个争论，只不过是人们对于三维流形的几何学不像二维曲面那样可以摸得着、看得见罢了。但是拓扑学可以讲清楚，三维流形也正如二维曲面一样，存在着有界无边缘的流形，当然也存在着无界无边缘的流形和有边缘的流形。究竟我们的宇宙空间属于哪一种，就要由观察的事实来决定，数学家只能告诉你，可能性是多种多样的。还有一个误区是说，如果我们的宇宙空间是个三维球，那它“外”面是什么？事实是不存在什么“外”面，那只是我们地球人的空间观念的延伸。我们总设想一个空间，把一切东西都装在里面。实际上从数学上看这没有必要，这就是内蕴几何学的观点，而且即使存在着外围空间，那里发生什么我们无从知晓，因为至今我们无法接收任何四维空间的信号。