三角形的恒等与相似

无论理论上还是实践上，三角形都是最基本的图形，平面几何学许多定理都是有关三角形的，至今还有许多新定理陆续发现。三角形各种各样，如等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等等。可是几何学研究的多是任意三角形的一般性质或共同性质，其中最典型的是：（1）三角形三内角和等于180°（2）三角形两边之和大于第三边。（3）三角形中大边对大角。三角形几何学最基本的一些定理是关于两个三角形的比较，首先是两个三角形恒等，也称为全等、合同、全同，也就是两个三角形可以重叠在一起，也就是两个三角形的三边a、b、c以及对应的夹角A、B、C都能重合在一起。
     欧几里得几何学的一个重要成就是，我们判断两个三角形恒等而不必验证这两个三角形的三个边和三个角都对应相等，而只需知道这六个量中的三个对应相等就可以判断两三角形是否恒等，也就是两个三角形恒等的充分条件是：（1）s、s、s（三边），两三角形三边 a、b、c等于a′、b′、c′。（2）s、a、s（两边一夹角），两三角形a、b及其夹角C分别等于a′、b′、C′。（3）a、s、a（两角一夹边），即A、C、B分别等于A′、c′、B′。（4）a、s′、 a（两角一对边），即A、a、B、分别等于A′、a′、B′。除了上面四种情况之外，还有两种情况有三个量对应相等，但并不能保证两三角形恒等。（5）s、s、a′（两边一侧角）这时有两种情况：如果侧角对边是大边（S、S、A），也就是侧角是两角中较大者，这时两三角形仍恒等。如果侧角对边是小边（s、s、a），则这两三角形一般不恒等。（6）a、a、a（三角对应相等），这时两三角形称为相似。显然，只要两三角形两个角相等时，第三个角一定相等，这样两角相等就是两三角形相似的充分条件。两相似三角形也有许多共同的性质，各种对应线段的度量互成比例，其中最简单的是a∶b∶c=a′∶b′∶c′。