高考数学难点突破09指数、对数函数

难点9  指数函数、对数函数问题

指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一，本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题.

●难点磁场

(★★★★★)设f(x)=log₂,F(x)=+f(x).

(1)试判断函数f(x)的单调性，并用函数单调性定义，给出证明；

(2)若f(x)的反函数为f^－1(x),证明：对任意的自然数n(n≥3),都有f^－1(n)>;

(3)若F(x)的反函数F^－1(x),证明：方程F^－1(x)=0有惟一解.

●案例探究

［例1］已知过原点O的一条直线与函数y=log₈x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y=log₂x的图象交于C、D两点.

(1)证明：点C、D和原点O在同一条直线上；

(2)当BC平行于x轴时，求点A的坐标.

命题意图：本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识，考查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目.

知识依托：(1)证明三点共线的方法：k_OC=k_OD.

(2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A点坐标.

错解分析：不易考虑运用方程思想去解决实际问题.

技巧与方法：本题第一问运用斜率相等去证明三点共线；第二问运用方程思想去求得点A的坐标.

(1)证明：设点A、B的横坐标分别为x₁、x₂,由题意知：x₁>1,x₂>1,则A、B纵坐标分别为log₈x₁,log₈x₂.因为A、B在过点O的直线上，所以,点C、D坐标分别为(x₁,log₂x₁),(x₂,log₂x₂),由于log₂x₁==3log₈x₂,所以OC的斜率：k₁=,

OD的斜率：k₂=，由此可知：k₁=k₂,即O、C、D在同一条直线上.

(2)解：由BC平行于x轴知：log₂x₁=log₈x₂  即：log₂x₁=log₂x₂,代入x₂log₈x₁=x₁log₈x₂得：x₁³log₈x₁=3x₁log₈x₁,由于x₁>1知log₈x₁≠0,∴x₁³=3x₁.又x₁>1,∴x₁=,则点A的坐标为(，log₈).

［例2］在xOy平面上有一点列P₁(a₁,b₁),P₂(a₂,b₂),…,P_n(a_n,b_n)…,对每个自然数n点P_n位于函数y=2000()^x(0<a<1)的图象上，且点P_n,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以P_n为顶点的等腰三角形.

(1)求点P_n的纵坐标b_n的表达式；

(2)若对于每个自然数n,以b_n,b_n+1,b_n+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；

(3)设C_n=lg(b_n)(n∈N^*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C_n}前多少项的和最大？试说明理由.

命题意图：本题把平面点列，指数函数，对数、最值等知识点揉合在一起，构成一个思维难度较大的综合题目，本题主要考查考生对综合知识分析和运用的能力.属★★★★★级

题目.

知识依托：指数函数、对数函数及数列、最值等知识.

错解分析：考生对综合知识不易驾驭，思维难度较大，找不到解题的突破口.

技巧与方法：本题属于知识综合题，关键在于读题过程中对条件的思考与认识，并会运用相关的知识点去解决问题.

解：(1)由题意知：a_n=n+,∴b_n=2000().

(2)∵函数y=2000()^x(0<a<10)递减，∴对每个自然数n,有b_n>b_n+1>b_n+2.则以b_n,b_n+1,b_n+2为边长能构成一个三角形的充要条件是b_n+2+b_n+1>b_n,即()²+()－1>0,解得a<－5(1+)或a>5(－1).∴5(－1)<a<10.

(3)∵5(－1)<a<10,∴a=7

∴b_n=2000().数列{b_n}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2,B_n=b_nB_n－1.于是当b_n≥1时，B_n<B_n－1,当b_n<1时，B_n≤B_n－1,因此数列{B_n}的最大项的项数n满足不等式b_n≥1且b_n+1<1,由b_n=2000()≥1得：n≤20.8.∴n=20.

●锦囊妙计

本难点所涉及的问题以及解决的方法有：

(1)运用两种函数的图象和性质去解决基本问题.此类题目要求考生熟练掌握函数的图象和性质并能灵活应用.

(2)综合性题目.此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力.

(3)应用题目.此类题目要求考生具有较强的建模能力.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)定义在(－∞,+∞)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，如果f(x)=lg(10^x+1),其中x∈(－∞,+∞),那么(    )

A.g(x)=x,h(x)=lg(10^x+10^－x+2)

B.g(x)=［lg(10^x+1)+x］,h(x)= ［lg(10^x+1)－x］

C.g(x)=,h(x)=lg(10^x+1)－

D.g(x)=－,h(x)=lg(10^x+1)+

2.(★★★★)当a>1时，函数y=log_ax和y=(1－a)x的图象只可能是(    )

二、填空题

3.(★★★★★)已知函数f(x)=.则f^-－1(x－1)=_________.

4.(★★★★★)如图，开始时，桶1中有a L水，t分钟后剩余的水符合指数衰减曲线y=

ae^－nt,那么桶2中水就是y₂=a－ae^－nt,假设过5分钟时，桶1和桶2的水相等，则再过_________分钟桶1中的水只有.

三、解答题

5.(★★★★)设函数f(x)=log_a(x－3a)(a>0且a≠1),当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，点Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.

(1)写出函数y=g(x)的解析式；

(2)若当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1,试确定a的取值范围.

6.(★★★★)已知函数f(x)=log_ax(a>0且a≠1),(x∈(0,+∞)),若x₁,x₂∈(0,+∞),判断［f(x₁)+f(x₂)］与f()的大小，并加以证明.

7.(★★★★★)已知函数x,y满足x≥1,y≥1.log_a²x+log_a²y=log_a(ax²)+log_a(ay²)(a>0且a≠1),求log_a(xy)的取值范围.

8.(★★★★)设不等式2(logx)²+9(logx)+9≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log₂)(log₂)的最大、最小值.

参考答案

难点磁场

解：(1)由>0,且2－x≠0得F(x)的定义域为(－1，1)，设－1＜x₁＜x₂＜1,则

F(x₂)－F(x₁)=()+()

,

∵x₂－x₁>0,2－x₁>0,2－x₂>0,∴上式第2项中对数的真数大于1.

因此F(x₂)－F(x₁)>0,F(x₂)>F(x₁),∴F(x)在(－1，1）上是增函数.

(2)证明：由y=f(x)=得：2^y=,

∴f^－1(x)=,∵f(x)的值域为R，∴f^-－1(x)的定义域为R.

当n≥3时，f^-1(n)>.

用数学归纳法易证2ⁿ>2n+1(n≥3),证略.

(3)证明：∵F(0)=,∴F^－1()=0,∴x=是F^－1(x)=0的一个根.假设F^－1(x)=0还有一个解x₀(x₀≠),则F^-1(x₀)=0,于是F(0)=x₀(x₀≠).这是不可能的，故F^-1(x)=0有惟一解.

歼灭难点训练

一、1.解析：由题意：g(x)+h(x)=lg(10^x+1)                                                                      ①

又g(－x)+h(－x)=lg(10^－x+1).即－g(x)+h(x)=lg(10^－x+1)                                             ②

由①②得：g(x)=,h(x)=lg(10^x+1)－.

答案：C

2.解析：当a>1时，函数y=log_ax的图象只能在A和C中选，又a>1时，y=(1－a)x为减函数.

答案：B

二、3.解析：容易求得f^{- －1}(x)=,从而：

f^－1(x－1)=

答案：

4.解析：由题意，5分钟后，y₁=ae^－nt,y₂=a－ae^－nt,y₁=y₂.∴n=ln2.设再过t分钟桶1中的水只有,则y₁=ae^－n(5+t)=,解得t=10.

答案：10

三、5.解：(1)设点Q的坐标为(x′,y′),则x′=x－2a,y′=－y.即x=x′+2a,y=－y′.

∵点P(x,y)在函数y=log_a(x－3a)的图象上，∴－y′=log_a(x′+2a－3a),即y′=log_a,∴g(x)=log_a.

(2)由题意得x－3a=(a+2)－3a=－2a+2>0;=>0,又a>0且a≠1,∴0＜a＜1,∵|f(x)－g(x)|=|log_a(x－3a)－log_a|=|log_a(x²－4ax+3a²)|·|f(x)－g(x)|≤1,∴－1≤log_a(x²－4ax+3a²)≤1,∵0＜a＜1,∴a+2>2a.f(x)=x²－4ax+3a²在［a+2,a+3］上为减函数，∴μ(x)=log_a(x²－4ax+3a²)在［a+2,a+3］上为减函数，从而［μ(x)］_max=μ(a+2)=log_a(4－4a),［μ(x)］_min=μ(a+3)=log_a(9－6a),于是所求问题转化为求不等式组的解.

由log_a(9－6a)≥－1解得0＜a≤,由log_a(4－4a)≤1解得0＜a≤,

∴所求a的取值范围是0＜a≤.

6.解：f(x₁)+f(x₂)=log_ax₁+log_ax₂=log_ax₁x₂,

∵x₁,x₂∈(0,+∞),x₁x₂≤()²(当且仅当x₁=x₂时取“=”号)，

当a>1时，有log_ax₁x₂≤log_a()²,

∴log_ax₁x₂≤log_a()，(log_ax₁+log_ax₂)≤log_a,

即f(x₁)+f(x₂)］≤f()(当且仅当x₁=x₂时取“=”号)

当0＜a＜1时，有log_ax₁x₂≥log_a()²,

∴(log_ax₁+log_ax₂)≥log_a,即［f(x₁)+f(x₂)］≥f()(当且仅当x₁=x₂时取“=”号）.

7.解：由已知等式得：log_a²x+log_a²y=(1+2log_ax)+(1+2log_ay),即(log_ax－1)²+(log_ay－1)²=4,令u=log_ax,v=log_ay,k=log_axy,则(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0),k=u+v.在直角坐标系uOv内，圆弧(u－1)²+(v－1)²=4(uv≥0)与平行直线系v=－u+k有公共点，分两类讨论.

(1)当u≥0,v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得1+≤k≤2(1+);

(2)当u≤0,v≤0,即0＜a＜1时，同理得到2(1－)≤k≤1－.x综上，当a>1时，log_axy的最大值为2+2，最小值为1+；当0＜a＜1时，log_axy的最大值为1－，最小值为2－2.

8.解：∵2(x)²+9(x)+9≤0

∴(2x+3)( x+3)≤0.

∴－3≤x≤－.

即 ()^－3≤x≤()?

∴()≤x≤()^－3,∴2≤x≤8

即M={x|x∈［2,8］}

又f(x)=(log₂x－1)(log₂x－3)=log₂²x－4log₂x+3=(log₂x－2)²－1.

∵2≤x≤8,∴≤log₂x≤3

∴当log₂x=2,即x=4时y_min=－1;当log₂x=3,即x=8时，y_max=0.