数学破题36计第23计 探索开门 智勇双锋

第23计  探索开门  智勇双锋?

●计名释义?

所谓创新题，就是这之前没有做过，没有见过没有现成“套路”可以套用的陌生题目，它的答案（是否存在），它的解法（暂时不知），需要我们在“摸着石头过河”中得以发现和解决.这就是所谓的“探索解题”.?

“石头”，指我们已有的知识和方法，这当然是很重要的.若要“过河”，仅有这些还不够.?

过河人还需要两大素质：大智大勇！?

面对着数学上的探索问题，智、勇体现在哪里？勇——大胆地猜；智——小心地证.?●典例示范?

【例1】   如图所示，在正四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，E、F、G、H分别是棱CC₁，C₁D₁，D₁，D的中点，N是BC中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只要满足

条件          时，就有MN∥平面B₁BDD₁（请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）.?

【思考】   显然HN∥BD，即得HN∥平面B₁BDD₁，为使点M在平面EFGH内运动时总有B₁BDD₁∥M，只需过HN作平面，使之平行于平面B₁BDD₁，将线面平行的问题转化为面面平行的问题.?

【解答】   连FH，当点M在HF上运动时，恒有MN∥平面B₁BDD₁?

             例1题图                                        例1题解图

证明如下：连NH，HF，BD，B₁D₁，且平面NHF交B₁C₁于P.  则NH∥BD，HF∥BB₁，故平面PNHF∥平面B₁BDD₁.  MN平面PNHF，∴MN∥平面B₁BDD₁.??

【例2】   知f (x)是二次项系数为负数的二次函数，且对于任何x∈R，f (2-x)= f (2+x)总成立，问f (1-2x²)与f (1+2x-x²)满足什么条件时，才能使-2<x<0成立.?

【思考】   根据已知条件很容易得到f (x)是开口向下且对称轴为x=2的二次函数，然后可通过函数单调区间进行分类讨论.?

【解答】   由题设知：函数f (x)的图象是开口向下且对称轴为直线x=2的抛物线.?

故函数f (x)在(-∞,2］上是增函数；在［2,+∞)上是减函数.?

∵1-2x²≤1<2，1+2x-x²=-（x-1）²+2≤2?       ∴1-2x²∈(-∞,2］，1+2x-x²∈(-∞,2］?

当f (1-2x²)< f (1+2x-x²)时，      1-2x²<1+2x-x²?

即x²+2x>0，解得x<-2或x>0，不能使-2<x<0成立?

当f (1-2x²)>f (1+2x-x²)时，1-2x²>1+2x-x²,?  即x²+2x<0，解得-2<x<0，符合题意，?

当f (1-2x²)=f (1+2x-x²)时，    可得x= -2或0，不能使-2<x<0成立.?

∴当f (1-2x²)>f (1+2x-x²)时，才能使-2<x<0成立.??

【例3】   能否构造一个等比数列{a_n}，使其同时满足三个条件:①a₁+a₆=11；②a₃a₄=;③至少存在一个自然数m，使a_m-1?，a，a_m+1+依次成等差数列.若能，请写出这个数列的通项公式.?

【解答】   先考虑前两个条件.设等比数列{a_n}的公比为q.?

∵a₃a₄=a₁a₆,?     ∴由

即满足条件①，②的等比数列，其通项公式为a_n=·2^n-1或a_n=·^n-1?.?

（1）如a_n=·2^n-1，设存在题设要求的m∈N，则2×?=

化简得：2^2m?-7·2^m-8=02^m=8，∴m=3.?

（2）如a_n=·^n-1，设存在m∈N,使?2·?

化简得：4(2^6-m)²－11·2^6-m-8=0，这里Δ=11²+16×8=249不是完全平方数.  ∴符合条件的m不存在.   ??

综上所述，能构造出满足条件①，②，③的等比数列，该自然数m=3，数列的通项公式为：

a_n=·2^n-1?.??

【例4】   将二次函数f (x)=ax²+bx+c对应于一次函数g (x)=2ax+b.?

(1)求f (x)=x²+2x+1对应的一次函数g (x).?          （2）观察后请写出这个对应法则.?

（3）可以用g(x)的某些性质来研究f (x)的性质：当g(x)>0时，对应的f (x)的性质有哪些？（4）你还能研究另外的某些性质吗？?

（5）设g(x)=x，写出与g(x)对应的f (x)的三个不同的解析式.?

【思考】   本例是结论开放型试题，解题时要求根据已知条件将结论（必要条件）补充完整.  f (x)与g(x)是什么关系？我们容易由f′(x)=2ax+b，知f′(x)=g(x)，可见，只有当

g(x)= f′(x)时，才有可能用g(x)的性质来研究f (x)的某些性质.?

【解答】   (1)∵a=1，b=2，∴g (x)=2x+2.?

（2）①g(x)的一次项系数是f (x)的二次项系数与其次数的积；?

②g(x)的常数项等于f (x)的一次项系数.?

(3)g(x)>0，即2ax+b>0，当a>0时，x>，而x=是f (x)的对称轴，故这时f (x)是单调增函数；a<0时，x<，f (x)仍为单调增函数(前者单调区间为.后者单调区间为).?

(4)当g(x)<0时，f (x)是单调减函数(请仿照（3）证明之).?

(5)g(x)=x时，2ax+b=x，知a=，b=0.  只须在f (x)=ax²+bx+c中，命a=，b=0，c取任意值即可，如f (x)=x²+1，f (x)=x²+，f (x)=x²+5.??

【小结】   指导开放题解法的理论依据是充分必要条件，即若AB，则称A为B的充分条件，B为A的必要条件.??

●对应训练?

1.已知圆O′过定点A（0，P）(P>0)，圆心O′在抛物线x²=2py上运动，MN为圆O′在x轴上截得的弦，令|AM|?=d₁，|AN|=d₂，∠MAN=θ.?

(1)当O′运动时，|MN|是否有变化，并证明你的结论；?

（2）求的最大值,并求取得最大值的θ的值.?

2.如图所示，已知在矩形ABCD中，

AB=1，BC=a(a>0)，PA⊥平面AC，

且PA=1.?

(1)问BC边上是否存在Q，

便得PQ⊥QD，并说明理由；?

（2）若BC边上有且只有一点Q，

使得PQ⊥QD，求这时二面角

Q—PD—A的大小.?                              第2题图

3.已知椭圆(a>b>0)的离心率e=，过点A（0,-b）和B（a,0）的直线与原点距离为.?

(Ⅰ)求椭圆方程;?

(Ⅱ)已知定点E（-1,0）,若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于C、D两点，试判断：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出这个值.若不存在，说明理由.?

4.是否存在一条双曲线同时满足下列两个条件：?

①原点O与直线x=1是它的焦点和准线；?

②被直线x+y=0垂直平分的弦的长等于2，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由.??

●参考答案

1.(1)如图所示，设抛物线上一点O′(x₀，)，

连结O′A，O′M. 作O′C⊥MN于C，?

则|MN|=2|MC|，?

∵|O′M|=|O′A|=

∴|MC|=?       第1题解图

∴|MN|=2p为定值.?

即当O′运动时，|MN|不会有变化，总有|MN|=2p.?

(2)如图所示，有M（x₀-p，0），N(x₀+p，0)?

∴d₁=           d₂=

∴d+d=4p²+2x，d₁d₂=

∴=

=4?

当且仅当x=2p²，即x₀=±p，y₀=p时等式成立，此时?|O′M′|=|O′N′|=p.?

∴∠MO′N=90°，       ∴△MO′N为等腰直角三角形.?        ∴θ= 45°.?

2.【思考】   这是一道探索性问题，解决这类问题常从要探求的线面关系必须满足的条件出发.此题要使PQ⊥QD，∵PA⊥面ABCD，只需满足AQ⊥QD即可，再转化到在平面ABCD上寻求AQ⊥QD的条件，从而使问题得到解决.?

【解答】   （1）连结AQ，∵PA⊥面ABCD.?

∴要使PQ⊥QD，只要AQ⊥QD，即以AD为直径的圆与BC有公共点.?

这就是说，当AD≥2AB，即a≥2，在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD.?

(2)∵当a>2时，以AD为直径的圆与BC有两个交点.?

当a=2时，只有BC的中点满足条件.?

∴AD=2，Q为BC的中点，取AD的中点M，连结QM.?

∵面PAD⊥面ABCD，QM⊥AD，∴QM⊥面PAD.?过M作MN⊥PD于N，连结NQ.?

根据三垂线定理有，QN⊥PD.?           ∴∠MNQ就是二面角Q—PD—A的平面角.?

在Rt△QMN中，QM=1，MN=MD·sin∠MDN=1×.  ∴tan∠MNQ=.?

∴二面角Q—PD—A为arctan.?

3.【思考】   第一问从离心率的定义入手，很容易求得a、b的值，从而得到椭圆方程.第二问判断k值是否存在，可以假设其存在把问题变成一个结论确定的传统问题，若求出符合条件的k值则存在，反之，则不存在.?

【解答】   （Ⅰ）e=，∴，∴a²=3b²，即a=b.?

过A（0,-b），B (a,0)的直线为.?

把a=b代入，即x-y-b=0,

又由已知，解得b=1，∴a=.?

(Ⅱ)设C(x₁，y₁)，D（x₂，y₂）.?

由?消去y，                得(1+3k²)x²+12kx+9=0.?

必须   1+3k²≠0且Δ=（12k）²-36(1+3k²)>0?   ∴k<-1或k>1           ①?

要存在k满足①且使,        即x₁x₂+x₁+x₂+1+y₁y₂=0.        ②?

∵y₁=kx₁+2，y₂=kx₂+2

∴②式即为(1+k²)x₁x₂+(2k+1)(x₁+x₂)+5=0                                    ③?

∵x₁+x₂=，代入③得9k²+9-24k²-12k+5+15k²=0.?

∴k=满足①式.?∴存在k的值使以CD为直径的圆过E点，这个值是.?

4.设存在这样的双曲线，其离心率为，则根据双曲线定义得：.?

化简为：(e²-1)x²-y²-2e²x+e²=0?

将弦所在直线y=x+b代入得：(e²-2)x²-2(b+e²)x+e²-b²=0?

设弦AB的两端点A(x₁，y₁)B (x₂，y₂)，AB中点M（x₀，y₀）则?

x₁+x₂=，x₁x₂=，x₀=?

即y₀=x₀+b=+b，代入x+y=0，得b=-2.?

从而x₁+x₂=2，x₁·x₂=弦长|AB|=??

解得e=2符合题意,

所以存在双曲线方程：3x²-y²-8x+4=0，经检验它是满足题意的双曲线.?