机灵的小白鼠

大花猫是捕鼠能手，每天要抓到不少老鼠。但它在吃老鼠以前，先要叫老鼠列队报数。第一批吃掉报单数的；剩下的老鼠重新报数。第二批，花猫仍吃掉报单数的；第三批也是如此……最后剩下的一只老鼠可以被保留，与第二天抓来的老鼠一起重新排队报数。后来，发生了一件极其有趣的事情。

     大花猫发现，一连好几天，最后被留下的总是一只机灵的小白鼠。大花猫就问小白鼠：“你想了什么办法，能每天都留下呢？”小白鼠说：“尊敬的大花猫先生，每天排队前我都先数一数你抓到了多少只老鼠，然后，我站在一个相应的位置，就可以留下来了。”大花猫听了小白鼠的详细回答，很感叹地说：“没想到，害人的老鼠里居然也有你这样聪明的小白鼠呀！”

     小白鼠行了一个礼，恭敬地说：“尊敬的大花猫先生，不瞒您说，我并不是害人的老鼠，我是从科学家的实验室里溜出来玩的，您放我回去，好吗？”大花猫高兴地放它回去，临别的时候，大花猫还感谢小白鼠给它上了一节生动的数学课呢！你知道吗，小白鼠每天应站在什么位置才能不被花猫吃掉。（为了方便，我们假设第一天共有十只老鼠排队，第二天是二十只，拿出你的算术游戏子来试着排排看吧。）

答案：大花猫第一批吃掉序数是单数的老鼠，留下序数是双数，也就是序数能被2整除的老鼠（如2、8、14、等）。第一批吃完后，2、6、10……这些序数变成1、3、5、……，这样的老鼠在第二批就要被吃掉。而4、8、12……变成2、4、6……这样的序数还能被2整除，第二批就不会被吃掉。所以，如果序数中有尽可能多的因数 2，老鼠就安全了。聪明的小白鼠就专拣这样的位置站。比如10只老鼠排队，站第8个（2×2×2）20只老鼠排队，站第16个（2×2×2×2）作为规律，我们写成：

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      我们又遇到了1、2、4、8、……2n这组数字。事实上，如果我们能把某一只老鼠的序数化成二进制数，就立刻可以知道它将在第几批被吃掉了。如第12只老鼠。将12化成二进数是1100，右面第一、二位是“0”所以它在第一批，第二批都留下。而右面第三位出了“1”，它肯定在第三批被吃掉。只有那些序数化成二进制数只有一个“1”和若干个“0”的老鼠，才有可能最后留下。如第4只老鼠，序数化成二进制数是100；第8只是1000；第16只是10000，都符合这些条件，有可能留下。

      至于留下这几只中哪一只，要看排队的老鼠多少而定。