逻辑主义、直觉主义与形式主义

由于悖论的出现，产生了数学基础论的危机，其后30年间，围绕着各种问题进行热烈的争论，出现相互对立的逻辑主义、直觉主义、形式主义三大学派。罗素是逻辑主义的代表人物，他们解决悖论的办法是分支类型论。为了避免悖论，他们规定集合自身不能作为它本身的元素。这样他们必须对命题加以区分，不同类型的命题不能等量齐观，从而造成极大的复杂性。为了避免繁琐复杂，他们又引进可化归性公理，即所有命题都可以化归为等价的 0型命题。但这个公理是完全任意的，遭到许多人反对。
     特别是罗素等人企图从逻辑中推出全部数学。推导过程极为繁琐，以至花上几百页才能把数1定义出来，无怪乎法国大数学家彭加勒挖苦他们说：“这是一个可钦佩的定义，它献给从来没有听说过1的人。”从哲学上来讲，也很难在这个体系中补充直观和经验的概念，从而使数学成为“不结果实的”、纯粹形式的演绎科学。不过，罗素等人以符号形式实现逻辑数学化，从而极大地推动数理逻辑的发展，这种功绩是不可抹杀的。直觉主义者走向另一个极端，他们否定实在的无限。克罗内克甚至否定无理数的存在，连圆周率π都认为不存在，因为从整数出发，无法造出π来。对于这种极端的看法，当然支持的人多。到20世纪初，这种思想又重新抬头，其代表人物是布劳威尔。他在1907年发表《论数学基础》，正式建立起直觉主义数学。他们否定排中律，也就是认为存在着既不能证明也不能否证的命题。他们坚持所有定义和命题都必须通过构造来实现，从而根本不承认无穷集合论。虽然他们因此消除了悖论，但是也因此否定了大部分经典数学。
     到30年代，他们又花了很大力气具体实现他们的纲领，把数学建立在构造的基础上，尽管他们取得相当的成就，但也无法与整个数学的大洋相提并论。反对直觉主义最有力的是希尔伯特。希尔伯特认为数学的真理所在就是没有矛盾，而不在于能否构造出来。他提出的形式主义的主要论点是：数学本身是形式系统的集合，每个形式系统都包含自己的逻辑、概念、公理及推理规则；数学的任务就是发展出每一个这样的演绎系统，在每一个系统中，定理的证明通过一系列程序得到，只要这种推演过程不产生矛盾出来。为此，希尔伯特以数学的证明为研究对象，提出所谓希尔伯特纲领，成为后来证明论（元数学）的来源。在希尔伯特纲领中，希尔伯特要求无矛盾性的证明通过有限的构造步骤达到，而且力图首先在初等算术的系统中实现。但是1931年奥地利数学家哥德尔证明这个要求是达不到的。