醉汉的行走—布朗运动

1827年，英国植物学家布朗在显微镜下观察到悬浮在液体中的粒子做奇特的无规则运动，好像醉汉行走那样。他在1828年发表这种现象后，曾引起争论，长时间没有满意的定量解释。一直到1905年爱因斯坦和波兰物理学家斯莫卢霍夫斯基独立给出物理上的解释，也就是布朗运动是分子无规则碰撞的结果。他们还得出粒子在某一轴上投影的位置X服从正态分布。X的平均 运的实验结果，并给出测定阿伏加德罗常数一个精确测定方法。这就无可辩驳地证明了原子和分子和实在性。1916年，斯莫卢霍夫斯基把布朗运动归结为一个数学问题，但不是从随机过程的观点出发的。第一个从数学上深刻研究布朗运动的是美国数学家维纳。1923年他第一次给出随机函数（即后来随机过程）W（t，ω）的严格定义，证明 X＝σW（t，ω）可以是布朗运动的理论模型。这种函数早在1900年已被法国数学家巴夏里耶在他的博士论文中考虑过，不过他的论文是研究投机理论的。他在寻求股票市场的涨落过程中，发现 W（t，ω）的许多特征性质。他实际上发展了一种随机过程理论，而且也提到布朗运动。
     不过，由于当时对概率论的普遍忽视，没有受到注意。维纳从样本路程的观念出发，研究“路程”的集合，引进维纳测度，并证明几乎所有轨道都是连续的。 1933 年英国数学家佩莱、波兰数学家齐格孟德与维纳合作证明布朗运动的所有轨道几乎肯定在每一点都是不可微的。这种连续而不可微函数在过去很长时间被认为是病态，而现在成为概率论中最重要的一类函数。维纳还证明布朗运动是马尔科夫过程。马尔科夫过程是1906年由俄国数学家马尔科夫提出来的。粗浅地讲，它的含义是：一个体系将来的发展只与体系的现在状况有关，而与体系过去的历史无关。从马尔科夫过程观点研究布朗运动的是保尔·列维。他从1938年起，对布朗运动进行系统的研究。他研究随时间增长的样本路程，总假定未来与过去无关这种马尔科夫性质。1944年日本数学家角谷静天首先对于二维情形把马尔科夫过程与位势理论联系起来，形成战后概率论的一个重要方向。