两头小中间大—正态分布

在测量及实验过程中，我们积累了大量的数据。这些数据的分布，往往呈现两头小、中间大的正态分布的现象。例如某地区，某个年龄段的男人或女人，他们的身高或体重的分布就近似的呈正态分布。例如成年男子超过 2米的极为罕见，超过1.90米的也不多；另一方面不到1.50米和1.60米的也不多，大多数人都在1.65米到1.75米之间。为什么身高服从正态分布呢？原因是影响身高的因素有许多偶然因素，而这些因素相互之间是独立的，再有每一种因素的实际影响都是比较微小的。在这些因素的共同的、随机的作用下形成正态分布。以身高为例，影响它的因素很多，例如父母的身高、个人的营养状况、体育运动的爱好与否、得过什么疾病等等。这些因素中，具备全部有利条件的很少，具备全部不利的条件的也不多，而且大多数人既有长高的条件，也有不利于长高的条件，在这些因素共同作用之下，不高不矮的自然占了多数。它的分布曲线画起来就是一个倒钟形的正态曲线，正态曲线方程 如果随机变量X的概率密度Ｙ，可由这个方程表示，就称Ｘ服从正态分布，正态分布曲线虽然都是两头小、中间大，可是分布与分布不同，它门的不同就反映在方程中的两个参数μ及δ之上。参数μ称为均值，它表示数据的平均值，参数δ称为标准差，δ称为方差，它是决定曲线形状的关键，δ小时，曲线陡峭，表示数据分布比较集中，而当δ大时，曲线平缓，表示数据分布比较分散。在实用上，我们往往用μ=0，δ2=1 的正态分布，称为标准正态分布。统计学家已将标准正态分布下各部分面积列成表，而面积的实际意义就是数据落在 a＜x＜b 之间的概率。例如某年龄段儿童的智商服从μ=100，δ=13的正态分布，从查表立刻可以算出，智商从87到113的儿童的比例约为68％，由此可见，正态分布是统计应用中最基本的工具。