开门与关门—微积分基本定理

牛顿与莱布尼茨的微积分比起前人来显著的特点是其普遍性，也就是建立起一个普遍算法，它能处理各种特殊问题。概括说来，求速度、作切线、求极大极小、求曲线在某点的曲率等问题可统一用微分法来解，而求面积、求曲线弧长、求体积、求重心、求距离等问题可以统一用积分法来解。以前大都特殊问题采用特殊解法，它们之间的联系是模糊的。其次，牛顿及莱布尼茨建立了微积分的一般的算法体系，这个算法体系在莱布尼茨那里十分清楚，他明确给出“函数的”和、差、积、商、幂、根的微分公式： 积分也有相应的公式，这样微积分的整个算法体系建立起来了，为它成为解决实际问题的有效工具奠定了基础。另外，他们都为进一步发展微积分本身指出了方向，他们都提出过换元方法，莱布尼茨特别指出ydx的换元下不变性，这是极为深刻的观点。他们都用过无穷级数，牛顿十分强调其普遍意义，这样为一般问题的解决提供了前景。最重要的是，他们建立了“微积分基本定理”，在当时，微分法和积分法是如此不同，以致很难看出它们之间的联系，一个是无穷小量之商，一个是无穷小量求和。在函数出现之后，明显看出这两个运算的互逆性，就像加法与减法、乘法与除法一样。具体说，如果