速度与切线—微分法

微积分出现前，有四种类型问题与微分法的产生有关：（1）已知物体在一定时间之内走了多少距离，求物体的速度和加速度。这类问题直接与运动有关系。如果物体以匀速直线运动，问题当然很简单。但是如果物体运动时快时慢，就不能用总的时间去除总的距离来计算速度了，因为这样得到的只是平均速度。因此就要把时间间隔缩小，因而在这段时间间隔物体所走的距离也很小，当都小到0时，就出现0/0的困难，如何求瞬间速度成为主要问题。（2）求曲线的切线，这不仅是几何学问题，而且在应用上极为重要，比如光线通过透镜反射或折射，都要确定透镜曲面上每一点法线的位置，法线与切线垂直，所以要求知道怎样求曲线的切线。
     在曲线运动中也有求切线的问题。（3）求极大值和极小值的问题，比如求炮身的仰角多大，打出炮弹的射程最远。求行星的椭圆轨道的近日点和远日点，都是求极大值和极小值的问题。（4）求曲线乃至曲面的弯曲程度即曲率等。微分法的发现经历了漫长而曲折的历程，至今已是很简单了。所有上述问题归结为求导数问题。设 y＝f（x）是光滑的函数，则其导数的求法可分两步走，一是把f（x）表示成多项式或幂级数，二是求f（x）＝axn的导数，经过许多人的努力