把平面分为两部分 ——若尔当定理

几何学最简单的概念是曲线。但是在拓扑学里，曲线并不太好定义。法国著名数学家若尔当在1882年用参数方程加以定义：曲线是平面上的点集，其坐标是参数t的连续函数x＝φ（t）y＝φ（t）t 在区间[a，b]取值。所以若尔当定义下的曲线无非是区间的连续。曲线两端连在一起就是闭曲线。如果闭曲线没有自交点，称为简单闭曲线。简单闭曲线实际上是圆的连续象。如果把这条闭曲线画在橡皮膜上，当橡皮膜连续变形时，曲线的长度及包围的面积可以改变，但是根据拓扑的定义，它的拓扑性质不会改变，其中一个拓扑性质从直观上极为显然：平面上一条简单闭曲线C恰好把平面分成两个区域，一个是内部，一个是外部，它们均以C为边界。
     这样，平面上的点分成两类：C内部的点和C外部的点。同一类中两任意点都能用一条不与C相交的曲线相边接，而连接分属两类的点的曲线必定与C相交。而且，这两个区域一个是有界的，一个是无界的。对于有界区域中任何一点x，以及C上任何一点x0，总可以连接一条简单弧以x及x0为端点。且除了x0之外，整个弧都在有界区域之内。这称为舍恩夫列斯定理。由于这个定理直观上很显然，一直到若尔当才认识到有必要正式表述这个定理并加以证明。若尔当的证明非常长而且复杂，后来还发现其中有问题，最主要的许多直观的概念，特别是曲线和内部外部这些概念需要更严密的分析，拓扑学就是考虑这些问题的。
     由于问题的复杂性，若尔当曲线定理一直到1905年才由美国数学家维布仑首先严格证明。这个定理很快推广到高维：n维欧几里得空间Rn中（n－1）维子流形如果同胚于（n－1）维球面Sn-1，也把Rn分为两部分，且该子流形是两部分的公共边界。法国数学家勒贝格证明n－3的情形，荷兰数学家布劳威尔证明一般的情形。库拉托夫斯基证明了强化的舍恩夫利斯定理：存在一个由闭单位圆D的同胚，它把D的边界S'映到C上，把S'内部映到C的内部上。但这定理在高维情形是错的。作为反例，亚历山大举出他那著名的“角球”。