张在铁丝架上的肥皂膜—极小曲面

1849年起，比利时物理学家普拉托进行一系列实验，用金属丝弯成各种形状的框架，浸入肥皂水中，拉起来后看框架是否张上肥皂膜。这样的肥皂膜由于表面张力之故是所有张在同样框架上的曲面中面积最小的，用数学的话讲，以某个封闭曲线为边界的所有曲面中求面积最小的曲面。这个面积最小曲面称为极小曲面。这个问题也称为普拉托问题。事实上，早在普拉托实验之前一百多年，数学家已经研究极小曲面问题。1760年还在知道具体的极小曲面之前，已经由拉格朗日作为变分问题提出来，他证明，如z＝Z（X，y）是极小曲面方程，则z满足一个非线性偏微分方程。其后蒙日发现，这方程解曲面的面积极小的条件为平均曲率H＝0，因此以后称H＝0 的曲面为极小曲面。但H＝0只是一个必要条件。
     利用变分方法得到非线性偏微分方程，然后在给定边界条件下求解是非常困难的数学分析问题，经过近200年的努力，我们对于解的形式以及解的存在性是否唯一等都有了相当丰富的结果。由于运用复变函数的理论，已经知道极小曲面的一般形式，并可以用参数表示，由此，得出一系列极小曲面。18世纪只知道三种极小曲面，除了平面之外，还有欧拉在1744 年发现的用悬链线的一段绕X轴旋转产生的悬链面是极小曲面。后来又有人发现正螺旋面是极小曲面。1830年起许多数学家又发现许多新型的极小曲面，特别是德国数学家舍尔克发现的具有单周期和双周期性的极小曲面，后者定义在一个国际象棋棋盘上，每个白方块上的曲面和每个黑方块上的曲面都是一样的。
     19 世纪中叶起，又发现许多特殊的极小曲面，一种是恩涅配尔极小曲面，它具有自相交的曲线。另一种是边界不是一条或几条曲线而是一个立方体的框架为边，也存在极小曲面。但是，是否有亏格≥1的曲面也是极小呢？如果是封闭曲面这是不存在的，但是在曲面有扎了的空洞还是可能的。这些一直到十几年前才能得到，这一次很大程度上借助于计算机的帮助，1982年首先得到亏格为1的完备极小曲面，它有三个末端（空洞）。它的图像要是没有计算机是根本做不出来的，后来陆续发现，对每个亏格≥1，都存在完备的极小曲面，末端数≥3。因此，近20年来，极小曲面成为数学的一大热门，无论是数学分析，还是高维几何学乃至物理学都从这一发展得到好处。