笔直与弯曲—曲率

弯曲性是最直观的几何性质之一。当我们走到街上时，我们不难判断道路的弯曲程度。北京的许多街道一眼望不到头，它们可以横平竖直，而山城重庆、青岛的许多道路弯弯曲曲，还要上上下下，开起车来总要左拐右拐，改变方向。数学家并不满足于直观的感觉，他希望对于曲线和曲面的弯曲程度有一个严密的定义和精确的量度，这个题材构成了微分几何学的主要内容。数学是一门抽象的科学，研究任何对象必须抓住弯曲的本质。为此，我们先考虑最简单的平面曲线。平面曲线中直线是直的，圆是典型的曲线，它们的不同之处在于沿着直线向一个方向运动，方向永远不改变。因此，要想度量弯曲的程度，只要看一下方向随着曲线改变的程度。对于圆来说，当绕圆走上一段圆弧长度为 S 时，方向改变可由两点切线之间夹角ϕ来确定，我们可以定义圆的曲率为： 这里ϕ用弧度来表示，R正好是圆的半径，显然它是弯曲程度的度量，因为它符合我们的直观。一个圆越小弯曲程度越大，也就是曲率越大，一个圆越大曲率也就越小也就越发平直。当一个圆半径无穷大，曲率也就变成 0，它也变成一条直线。直线是曲率为0的曲线，它当然最直。一般的平面曲线与圆不一样，它每一点的弯曲程度都不一样，因此，对于一般曲线，必须时每点区别对待，这也同道路一样，有的地方弯曲，而有的地方比较直。这说明曲率并不是曲线的整体性质，而是局部的性质，也就是在一点局部的性质。求曲线上每点的曲率也可以用微积分，例如我们对于曲线y＝f（x）它的曲率为 y'及y"为y对x的一阶及二阶导数，不过不懂微积分也不要紧。我们在曲线每一点画一个密切圆，也就是这个圆不仅同曲线在这点相切，而且也和曲线在这点的切线相切，换句话说，这点的密切圆和曲线在这点有公共切线。这时显然曲线在这点的曲率就是密切圆的曲率也就是密切圆的半径的倒数。曲率还有力学的意义。根据牛顿的惯性定律，质点在不受外力的情况下，应沿着这点切线方向前进。因此，如果质点沿曲线匀速（速度v大小不变）运动的话，曲率则表示曲线偏离切线的速度。可以证明，在该点的（法向）加速度w为w＝kv²对于空间曲线来说不仅有曲率还有挠率。挠率反映曲线偏离平面曲线的程度。而对于曲面，就有更为复杂和深刻的曲率理论。