已知抛物线的顶点为(3, -2), 且在x轴上截得的线段AB长为4.
(1) 求这个抛物线的解析式;
(2) 抛物线上是否存在点Q, 使△QAB面积等于12? 如果存在, 请求出点Q的坐标; 如果不存在, 请说明理由.
【解析】 (1)抛物线解析式的求法是常考知识点, 虽然不同的题目给出的条件不一样, 但是解题的思想比较少, 一般用待定系数法都可以解决.
∵题目中给出了抛物线的顶点,
∴我们设抛物线的顶点式: y=a(x-3)2-2.
接下来的任务是再找一个点.
∵抛物线的顶点为(3, -2), ∴当函数图像在x轴上截得的线段AB长为4时, 我们可以知点A、 B到x=3的距离都为2, 则A、 B的坐标分别为: (1,0)和(5,0).
把x=1, y=0代入y=a(x-3)2-2得
∴抛物线的解析式为
(2) 这小题重点考察了数形结合的思想和观察能力.
这小题不画图, 靠空想是很难想出来的, 只要先把二次函数的图象画出来, 通过观察和分析图象的特点帮助解决问题.
二次函数的图象如下:
从图象上观察, 发现可能存在两个这样的点. 现在我们假设存在点Q, 并时高点Q的坐标为(a,b). 下一步我们只要能够求出a、 b的具体值, 就可以说明点Q的存在.
要求出这两个未知数, 我们就要找到等量关系, 列出方程. 而这个等量关系就是: △QAB面积等于12.
∵S△QAB=(1)/(2)AB·|b|=2|b|=12,
∴点Q的坐标为(7,6) 或(-1,6).
即存在这样的点Q.
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