高中数学典型例题解析（第十章导数及其应用2）

三、经典例题导讲

[例1]已知曲线及点，求过点的曲线的切线方程.

错解：，过点的切线斜率，过点的曲线的切线方程为.

错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点凑巧在曲线上，求过点的切线方程，却并非说切点就是点，上述解法对求过点的切线方程和求曲线在点处的切线方程，认识不到位，发生了混淆.

正解：设过点的切线与曲线切于点，则过点的曲线的切线斜率

，又，。①点在曲线上，

②，②代入①得

化简，得，或.若，则，过点的切线方程为；若，则，过点的切线方程为过点的曲线的切线方程为或

[例2]已知函数在上是减函数，求的取值范围.

错解：在上是减函数，在上恒成立，

对一切恒成立，，即，.

正解:，在上是减函数，在上恒成立，且，即且，.

[例3]当 ，证明不等式.

证明：，，则，当时。在内是增函数，，即，又，当时，，在内是减函数，，即，因此，当时，不等式成立.

点评：由题意构造出两个函数，.利用导数求函数的单调区间，从而导出及是解决本题的关键.

[例4]设工厂到铁路线的垂直距离为20km,垂足为B.铁路线上距离B为100km处有一原料供应站C,现要在铁路BC之间某处D修建一个原料中转车站,再由车站D向工厂修一条公路.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为3:5,那么,D应选在何处,才能使原料供应站C运货到工厂A所需运费最省?

解 ： 设BD之间的距离为km,则|AD|=,|CD|=.如果公路运费为元/km,那么铁路运费为元/km.故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费为:+,().对该式求导,得=+=,令,即得25=9(),解之得

=15,=-15(不符合实际意义,舍去).且=15是函数在定义域内的唯一驻点,所以=15是函数的极小值点,而且也是函数的最小值点.由此可知,车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时,运费最省.

点评： 这是一道实际生活中的优化问题,建立的目标函数是一个复合函数,用过去的知识求其最值往往没有一般方法,即使能求出,也要涉及到较高的技能技巧.而运用导数知识,求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.

[例5]函数，其中是的导函数.（1）对满足－1≤≤1的一切的值，都有＜0，求实数的取值范围；

（2）设＝－，当实数在什么范围内变化时，函数＝的图象与直线＝3只有一个公共点.

解：（1）由题意

         令，

对，恒有，即

∴  即

解得

故时，对满足－1≤≤1的一切的值，都有.

（2）

①当时，的图象与直线只有一个公共点

②当时，列表：

∴

又∵的值域是，且在上单调递增

∴当时函数的图象与直线只有一个公共点.

当时，恒有

由题意得

即

解得

综上，的取值范围是.

 [例6]若电灯B可在桌面上一点O的垂线上移动，桌面上有与点O距离为的另一点A，问电灯与点0的距离怎样，可使点A处有最大的照度？（照度与成正比，与成反比）

分析：如图，由光学知识，照度与成正比，与成反比，

即（是与灯光强度有关的常数）要想点处有最

大的照度，只需求的极值就可以了.

解：设到的距离为，则，

于是，.

当时，即方程的根为（舍）与，在我们讨论的半闭区间内，所以函数在点取极大值，也是最大值。即当电灯与点距离为时，点的照度为最大. 

（0，）

+

-

↗

↘

点评：在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得=0且在该点两侧，的符号各异，一般称为单峰问题，此时，该点就是极值点，也是最大（小）值点.

四、典型习题导练

1．已知函数，若是的一个极值点，则值为      （  ）

A．2            B.-2             C.           D.4

2.已知函数在处有极值为10，则=        .

3．给出下列三对函数：①②， 

③，；其中有且只有一对函数“既互为反函数，又同是各自定义域上的递增函数”，则这样的两个函数的导函数分别是                   ，                     .

4．已知函数有极大值和极小值，求的取值范围.

5．已知抛物线，过其上一点引抛物线的切线，使与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积最小，求的方程.

6．设在上的最大值为，，

（1）求的表达式；（2）求的最大值.

§10.3定积分与微积分基本定理

一、知识导学

1．可微：若函数在的增量可以表示为的线性函数（是常数）与较高阶的无穷小量之和:（1）,则称函数在点可微，（1）中的称为函数在点的微分，记作或.函数在点可微的充要条件是函数在可导，这时（1）式中的等于.若函数在区间上每点都可微，则称为上的可微函数.函数在上的微分记作.

2．微积分基本定理：如果，且在上可积.则

.其中叫做的一个原函数.

由于，也是的原函数，其中为常数.

二、疑难知识导析

1 .定积分的定义过程包括“分割、近似求和、取极限”这几个步骤，这里包含着很重要的数学思想方法，只有对定积分的定义过程了解了，才能掌握定积分的应用.

1）一般情况下，对于区间的分割是任意的，只要求分割的小区间的长度的最大者趋近于0，这样所有的小区间的长度才能都趋近于0，但有的时候为了解题的方便，我们选择将区间等份成份，这样只要2其中的使就可以了.

2）对每个小区间内的选取也是任意的，在解题中也可选取区间的左端点或是右端点.

3）求极限的时候，不是，而是.

2．在微积分基本定理中，原函数不是唯一的，但我们只要选取其中的一个就可以了，一般情况下选那个不带常数的。因为.

3．利用定积分来求面积时，特别是位于轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计算，然后求两部分的代数和.

三 、经典例题导讲

[例1]求曲线与轴在区间上所围成阴影部分的面积S.

错解：分两部分，在，在，因此所求面积为      2+（-2）=0。

分析：面积应为各部分积分的代数和，也就是第二部分的积分不是阴影部分的面积，而是面积的相反数。所以不应该将两部分直接相加。

正解：

[例2]用微积分基本定理证明

（）

分析：即寻找的原函数代入进行运算。

解；设，则

= =

由微积分基本定理的逆运用可知：上式

所以原式成立，即证。

注：该式可用来求分布在轴两侧的图形的积分。

[例3]根据等式求常数的值。

1）                2）

分析：利用微积分基本定理，求出原函数代入求解

解：1）

2）

[例4]某产品生产x个单位时的边际收入　　

（１）   求生产了50个单位时的总收入。

（２）   如果已生产了100个单位时，求再生产100个单位时的总收入。

分析：总收入为边际收入的积分和，求总收入既为求边际收入在规定时间内的定积分。由收入函数和边际收入的关系可得

（1）生产50个单位时的总收入为 

= =99875

（2）已生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为

答：生产50个单位时的总收入为99875；生产了100个单位时后，再生产100个单位时的总收入为19850.

[例5]一个带电量为的电荷放在轴上原点处，形成电场，求单位正电荷在电场力作用下沿轴方向从处移动到处时电场力对它所作的功。

分析：变力做功的问题就是定积分问题在物理方面的应用。

解：单位正电荷放在电场中，距原点处，电荷对它的作用力为

在单位电荷移动的过程中，电场对它的作用力为变力。则根据课本对变力做功的分析可知

答：电场力对它做的功为。

[例6]一质点以速度沿直线运动。求在时间间隔上的位移。

分析：变速求位移和变力求功一样都可以用定积分解决。

解：

答：位移为。

四、典型习题导练

1. (   )

A.        B.     C.      D.

2．（   ）

A．0            B.2              C.-2             D.4

3．，则           。

4．利用概念求极限：

5．求下列定积分；

（1）       （2）   

6．写出下面函数在给定区间上的总和及的表达式