方法指导：如何突破数学命题难点(2)

　　（1） p:|p|≥2，p∈R；q:方程x2+px+p+3=0有实根.

　　（2） p：圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切；q：c2=（a2+b2）r2，其中a2+b2≠0，r≠0.

　　（3） 设集合M={x|x＞2}，N={x|x＜3}，p：x∈M∩N；q:x∈M∪N.

　　解析 （1） 当|p|≥2时，例如p=3，此时方程x2+px+p+3=0无实根，因此“若p则q”为假命题；当方程x2+px+p+3=0有实根时，根据判别式有p≤-2或p≥6，此时|p|≥2成立，因此“若q则p”为真命题.故p是q的必要不充分条件.

　　（2） 若圆x2+y2=r2与直线ax+by+c=0相切，则圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离等于r，即r=，化简可得c2=（a2+b2）r2，因此“若p则q”为真命题；反过来，由c2=（a2+b2）r2，可得r=，即圆心（0，0）到直线ax+by+c=0的距离等于r，由解析几何知识得圆与直线相切，因此“若q则p”为真命题.故p是q的充要条件.

　　（3） M∩N=（2，3），M∪N=R，若x∈（2，3），此时显然有x∈R，因此“若p则q”为真命题；反过来，若x∈R，例如x=5，此时x?埸（2，3），因此“若q则p”为假命题.故p是q的充分不必要条件.

　　突破 ①从逻辑的观点理解：判断充分性、必要性的前提是判断给定命题的真假性，若“若p则q”为真命题，则p是q的充分条件；若“若q则p”为真命题，则p是q的必要条件；若两者都是真命题，则p是q的充要条件；若两者都是假命题，则p是q的既不充分也不必要条件.②从集合的观点理解：建立命题p，q相应的集合. p：A={x|p（x）成立}，q：B={x|q（x）成立}.那么:若A?哿B，则p是q的充分条件；若B?哿A，则p是q的必要条件；若A=B，则p是q的充要条件.若A?芫B且B?芫A，则p是q的既不充分也不必要条件.

　　例3 已知数列{an}的前n项和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求证:数列{an}为等比数列的充要条件为q=-1.

　　解析 充分性:当q=-1时，a1=p-1；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=pn-1（p-1）.于是当n≥1时，=p，即数列{an}为等比数列.

　　必要性：当n=1时，a1=S1=p+q；当n≥2时，an=Sn-Sn-1

　　=pn-1（p-1）.因为p≠0且p≠1，于是=p.又因为数列{an}为等比数列，所以==p，即=p，解之得q=-1.

　　综上所述，q=-1为数列{an}为等比数列的充要条件.

　　突破 证明p是q的充要条件需要分两步：①充分性，把p作为已知条件，结合命题的前提条件，推出q；②必要性，把q作为已知条件，结合命题的前提条件，推出p.最后综上所述，可得p是q的充要条件.特别注意:充分条件的意义只在于保证结论成立，而不管它对结论成立是否必要；必要条件的意义只在于要使结论成立它必不可少，而不管它对结论成立是否充分.因此，在进行恒等变形或探求充要条件的过程中，只注意推导过程的充分性，其结果有可能缩小范围；只注意推导过程的必要性，其结果有可能扩大范围.

　　3. “简单逻辑联结词”的难点在于复合命题的真假性判断以及“命题的否定”与“否命题”的区分

　　例4 指出下列命题的真假.

　　（1） -1是奇数或偶数；

　　（2） 属于集合Q，也属于集合R；

　　（3） A?埭（A∪B）.

　　解析 （1） 此命题为“p或q”的形式，其中p：-1是奇数；q：-1是偶数.因为p为真命题，所以原命题为真命题.

　　（2） 此命题为“p且q”的形式，其中p：属于集合Q；q：属于集合R.因为只有q为真命题，所以原命题为假命题.

　　（3） 此命题为“非p”的形式，其中p：A?哿（A∪B）.因为p为真命题，所以原命题为假命题.